已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差數列{bn}中bn＞0（n∈...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差數列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數列．

（Ⅰ）求數列{an}、{bn}的通項公式；

（Ⅱ）求數列{an•bn}的前n項和Tn．

【回答】

【考點】8E：數列的求和；81：數列的概念及簡單表示法．

【分析】本題是數列中的一道綜合題，（1）的求解要利用恆等式an+1=2Sn+1構造出an=2Sn﹣1+1兩者作差得出an+1=3an，此處是的難點，數列的{bn}的求解根據題意列出方程求d，即可，

（II）中數列求和是一個典型的錯位相減法求和技巧的運用．

【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），

∴an=2Sn﹣1+1（n∈N*，n＞1），

∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1），

∴an+1﹣an=2an，

∴an+1=3an（n∈N*，n＞1）

而a2=2a1+1=3=3a1，

∴an+1=3an（n∈N*）

∴數列{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，

∴an=3n﹣1（n∈N*）

∴a1=1，a2=3，a3=9，

在等差數列{bn}中，

∵b1+b2+b3=15，

∴b2=5．

又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數列，設等差數列{bn}的公差為d，

∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64

解得d=﹣10，或d=2，

∵bn＞0（n∈N*），

∴捨去d=﹣10，取d=2，

∴b1=3，

∴bn=2n+1（n∈N*），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1①

3Tn=3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n②

①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n

=3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n

=，

∴Tn=n•3n

知識點：數列

題型：解答題