已知函數y=x+1+lnx在點A(1,2)處的切線l,若l與二次函數y=ax2+(a+2)x+1的圖象也相切,...
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問題詳情:
已知函數y=x+1+lnx在點A(1,2)處的切線l,若l與二次函數y=ax2+(a+2)x+1的圖象也相切,則實數a的取值為( )
A.12 B.8 C.0 D.4
【回答】
D【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】求出y=x+1+lnx的導數,求得切線的斜率,可得切線方程,再由於切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切點,進而可聯立切線與曲線方程,根據△=0得到a的值.
【解答】解:y=x+1+lnx的導數為y′=1+,
曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線斜率為k=2,
則曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線方程為y﹣2=2x﹣2,即y=2x.
由於切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,
y=ax2+(a+2)x+1可聯立y=2x,
得ax2+ax+1=0,
又a≠0,兩線相切有一切點,
所以有△=a2﹣4a=0,
解得a=4.
故選:D.
知識點:導數及其應用
題型:選擇題