設直線x=t與函數f(x)=x2+1,g(x)=x+lnx的圖象分別交於P,Q兩點,則|PQ|的最小值是( ...
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問題詳情:
設直線x=t與函數f(x)=x2+1,g(x)=x+ln x的圖象分別交於P,Q兩點,則|PQ|的最小值是( )
A.- B. C.1 D.-或1
【回答】
C
[解析] 直線x=t與函數f(x)=x2+1,g(x)=x+ln x的圖象分別交於P(t,f(t)),Q(t,g(t))兩點,則|PQ|=|f(t)-g(t)|.
記h(t)=f(t)-g(t)=t2+1-(t+ln t).
函數h(t)的定義域為(0,+∞),h′(t)=2t-1-=(2t2-t-1)=(2t+1)(t-1).
由h′(t)=0,解得t=1或t=-(捨去).
顯然當t∈(0,1)時,h′(t)<0,函數h(t)單調遞減;當t∈(1,+∞)時,h′(t)>0,函數h(t)單調遞增.
故函數h(t)的最小值為h(1)=12+1-(1+ln 1)=1,故|PQ|的最小值為1.
知識點:函數的應用
題型:選擇題