如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,E,F分別是AC,BC上的點...
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問題詳情:
如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點,E,F分別是AC,BC上的點(點E不與端點A,C重合),且AE=CF,連接EF並取EF的中點O,連接DO並延長至點G,使GO=OD,連接DE,DF,GE,GF.
(1)求*:四邊形EDFG是正方形;
(2)當點E在什麼位置時,四邊形EDFG的面積最小?並求四邊形EDFG面積的最小值
【回答】
【解答】(1)*:連接CD,如圖1所示.
∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,D是AB的中點,
∴∠A=∠DCF=45°,AD=CD.
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,
∴△EDF為等腰直角三角形.
∵O為EF的中點,GO=OD,
∴GD⊥EF,且GD=2OD=EF,
∴四邊形EDFG是正方形;
(2)解:過點D作DE′⊥AC於E′,如圖2所示.
∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴DE′=BC=2,AB=4,點E′為AC的中點,
∴2≤DE<2(點E與點E′重合時取等號).
∴4≤S四邊形EDFG=DE2<8.
∴當點E為線段AC的中點時,四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4.
知識點:各地中考
題型:解答題