如圖,四稜錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為稜上的動點,且.(I)求*:為直角三角...
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問題詳情:
如圖,四稜錐,側面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形, 為稜上的動點,且.
(I)求*:為直角三角形;
(II)試確定的值,使得二面角的平面角餘弦值為.
【回答】
【解析】(I)取中點,連結,依題意可知均為正三角形,所以,
又平面平面,
所以平面,
又平面,所以,
因為,所以,即,
從而為直角三角形.
説明:利用 平面*正確,同樣滿分!
(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,
平面,所以平面.
以為原點,建立空間直角座標系如圖所示,則
,
由可得點的座標
所以,
設平面的法向量為,則,
即解得,
令,得,
顯然平面的一個法向量為,
依題意,
解得或(捨去),
所以,當時,二面角的餘弦值為.
[傳統法]由(I)可知平面,所以,
所以為二面角的平面角,
即,
在中,,
所以
,
由正弦定理可得,即
解得,
又,所以,
所以,當時,二面角的餘弦值為.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題