已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．（1）點O到弦AB的距離為　　；．（2）若點P為優弧AB上一動點（點P...

問題詳情：

已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．

（1）點O到弦AB的距離為　　；．

（2）若點P為優弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP摺疊，得到A點的對稱點為A′；

①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關係；

②若BA′與⊙O相切於B點，求BP的長；

③若線段BA′與優弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值範圍．

【回答】

（1）1；（2）①點A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°

【解析】

（1）如圖，作輔助線；*∠AOC=60°，得到OC=1．

（2）①*∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直徑；*∠PA′B=90°，即可解決問題．

②*∠A′BP=∠ABP=60°；藉助∠APB=60°，得到△PAB為正三角形，求出AB的長即可解決問題．

③直接寫出α的取值範圍即可解決問題．

【詳解】

解：（1）如圖，過點O作OC⊥AB於點C；

∵OA=OB，

則∠AOC=∠BOC=×120°=60°，

∵OA=2，

∴OC=1．

故*為1．

（2）①∵∠AOB=120°

∴∠APB=∠AOB=60°，

∵∠PBA=30°，

∴∠PAB=90°，

∴PB是⊙O的直徑，

由翻折可知：∠PA′B=90°，

∴點A′在⊙O上．

②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，

∵BA′與⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

∴∠ABA′=120°，

∴∠A′BP=∠ABP=60°；

∵∠APB=60°，

∴△PAB為正三角形，

∴BP=AB；

∵OC⊥AB，

∴AC=BC；而OA=2，OC=1，

∴AC=，

∴BP=AB=2．

③α的取值範圍為0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

【點睛】

該題主要考查了翻折變換、垂徑定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用翻折變換、垂徑定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題