．如圖，在平面直角座標系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線...

問題詳情：

．如圖，在平面直角座標系xOy中，A（0，3），B（1，0），連接BA，將線段BA繞點B順時針旋轉90°得到線段BC，反比例函數y＝的圖象G經過點C．

（1）請直接寫出點C的座標及k的值；

（2）若點P在圖象G上，且∠POB＝∠BAO，求點P的座標；

（3）在（2）的條件下，若Q（0，m）為y軸正半軸上一點，過點Q作x軸的平行線與圖象G交於點M，與直線OP交於點N，若點M在點N左側，結合圖象，直接寫出m的取值範圍．

【回答】

【解答】解：（1）過C點作CH⊥x軸於H，如圖，

∵線段AB繞點B順時針旋轉90°，得到線段BC，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠CBH，

在△ABO和△BCH中，

∴△ABO≌△BCH（AAS），

∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，

∴C（4，1），

∵點C落在函數y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝4×1＝4；

（2）過O作OP∥BC交y＝的圖象於點P，過P作PG⊥x軸於G，

∵∠POG＝∠OAB，

∵∠AOB＝∠PGO，

∴△OAB∽△OHP，

∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，

∵點P在y＝上，

∴3yP•yP＝4，

∴yP＝，

∴點P的座標為（2，）；

（3）∵Q（0，m），

∴OQ＝m，

∵OM∥x軸，與圖象G交於點M，與直線OP交於點N，

∴M（，m），N（3m，m），

∵點M在點N左側，

∴＜3m，

∵m＞0，

∴m＞．

【點評】本題考查了座標與圖形變化﹣旋轉，三角形全等的判定與*質，相似三角形的判定和*質，反比例函數圖象上點的座標特徵，正確作出輔助線是解題的關鍵．

知識點：反比例函數

題型：解答題