某商品每件成本9元,售價為30元,每星期賣出432件,如果降低價格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數與...
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問題詳情:
某商品每件成本9元,售價為30元,每星期賣出432件,如果降低價格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品單價降低2元時,一星期多賣出24件.
(1)將一個星期的商品利潤表示成x的函數;
(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?
【回答】
解:(1)設商品降價x元,則多賣出的商品數為kx2,若記商品在一個星期的獲利為f(x),則依題意,有
f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).
又由已知條件,24=k·22,於是有k=6,
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].
(2)根據(1),有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
x | [0,2) | 2 | (2,12) | 12 | (12,30] |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | 8 664 | 11 664 |
故x=12時,f(x)達到極大值,因為f(0)=9 072,f(12)=11 664,所以定價為30-12=18(元)時能使一個星期的商品銷售利潤最大.
知識點:導數及其應用
題型:解答題