如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，E是線段D1O的上一點．（1）若E為D1...
來源：國語幫 1.18W
問題詳情：
如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，E是線段D1O的上一點．
（1）若E為D1O的中點，求直線OD1與平面CDE所成角的正弦值；
（2）能否存在點E使得平面CDE上平面CD1O，若能，請指出點E的位置關係，並加以*；若不能，請説明理由．
【回答】
解：不妨設正方體的稜長為2，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角座標系D－xyz，
則D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．
（1）因為點E是D1O的中點，
所以點E的座標為
．
所以
，
，
．
設
是平面CDE的法向量，則
即
，
取x＝2，則z＝－1，所以平面CDE的一個法向量為
．
所以
．
所以直線OD1與平面CDE所成角的正弦值為
．
（2）假設存在點E使得平面CDE⊥平面CD1O，設
．
顯然
，
．
設
是平面CD1O的方向量，則
，即
．
取x＝1，則y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一個法向量為
．
因為
，所以點E的座標為
．
所以
，
．
設
是平面CDE的法向量，則
即
．
取x＝1，則
，所以平面CDE的一個法向量為
．
因為平面CDE⊥平面CD1O，所以
，即
，
，解得λ＝2．
所以λ的值為2．即當
時，平面CDE⊥平面CD1O．
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
