閲讀下面材料： 小敏遇到這一個問題：已知α為鋭角，且tanα=，求tan2α的值．小敏根據鋭角三角函數及三角形...

問題詳情：

閲讀下面材料：

小敏根據鋭角三角函數及三角形有關的學習經驗，先畫出一個含

鋭角α的直角三角形：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α.她通

過*思考及與同學進行交流、討論後，形成了構造2α角的幾種方法：

方法1：如圖1，作線段AB的垂直平分線交BC於點D,連結AD.

方法2：如圖2，以直線BC為對稱軸，作出△ABC的軸對稱圖形△A，BC．

圖1                           圖2                          圖3

請你參考上面的想法，根據勾股定理及三角函數等知識幫助小敏求tan2α的值．（一種方法即可）

【回答】

解：方法1：

∵線段AB的垂直平分線BC交於點D，

AD=BD, ……… …………1分

∴∠1=∠B

∵∠B=α  ∴∠2=∠1+∠B=2α… ……3分

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=  ∴

設……………………………4分

在Rt△ADC中，∠C=90°，由勾股定理得，…… ……………5分

解得：……… ………………6分

∴……… ………………7分

方法2：過A作AD⊥A＇B於點D. …………………………………………1分

∵△ABC、△A＇BC關於BC對稱，

∴∠1=∠ABC =α

∴∠A＇BA=∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanα=∴

設…………………………3分

∵

∴………………………………………………………4分

∴……………………………………………………………5分

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

∴………………………………………………………………6分

∴………………………………………………7分

 方法3：延長C＇A交BC的延長線於點D. ………………………………………1分

∵△ABC、△ABC’關於直線AB對稱，

∴∠1=∠ABC = α，BC＇= BC

∴∠C＇BC=∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分

∵tanα=∴設AC = k,則BC = 2k，

BC＇= 2k……………………………………………………………………3分

設CD = x

∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°,

∴△ACD ∽△BC’D………………………………………………………4分

∴  ∴

∴C＇D = 2 x  ∴AD =2x -k

在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

由勾股定理得， ……… ………5分

………… ……………6分

∴…… ………7分

知識點：畫軸對稱圖形

題型：解答題