如圖,在平面直角座標系中,一次函數y=﹣x+4的圖象與x軸和y軸分別相交於A、B兩點.動點P從點A出發,在線段...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,一次函數y=﹣x+4的圖象與x軸和y軸分別相交於A、B兩點.動點P從點A出發,在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運動,到達點O停止運動,點A關於點P的對稱點為點Q,以線段PQ為邊向上作正方形PQMN.設運動時間為t秒.
(1)當t=秒時,點Q的座標是 ;
(2)在運動過程中,設正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S,求S與t的函數表達式;
(3)若正方形PQMN對角線的交點為T,請直接寫出在運動過程中OT+PT的最小值.
【回答】
(1)(4,0);(2)①當0<t≤1時,S =t2;②當1<t≤時,S =﹣t2+18t;③當<t≤2時, S =﹣3t2+12;(3)OT+PT的最小值為.
【解析】
(1)先確定出點A的座標,進而求出AP,利用對稱*即可得出結論;
(2)分三種情況,①利用正方形的面積減去三角形的面積,②利用矩形的面積減去三角形的面積,③利用梯形的面積,即可得出結論;
(3)先確定出點T的運動軌跡,進而找出OT+PT最小時的點T的位置,即可得出結論.
【詳解】
(1)令y=0,
∴﹣x+4=0,
∴x=6,
∴A(6,0),
當t=秒時,AP=3×=1,
∴OP=OA﹣AP=5,
∴P(5,0),
由對稱*得,Q(4,0);
(2)當點Q在原點O時,OQ=6,
∴AP=OQ=3,
∴t=3÷3=1,
①當0<t≤1時,如圖1,令x=0,
∴y=4,
∴B(0,4),
∴OB=4,
∵A(6,0),
∴OA=6,
在Rt△AOB中,tan∠OAB=,
由運動知,AP=3t,
∴P(6﹣3t,0),
∴Q(6﹣6t,0),
∴PQ=AP=3t,
∵四邊形PQMN是正方形,
∴MN∥OA,PN=PQ=3t,
在Rt△APD中,tan∠OAB=,
∴PD=2t,
∴DN=t,
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB,
∴tan∠DCN=,
∴CN=t,
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=(3t)2﹣t×t=t2;
②當1<t≤時,如圖2,同①的方法得,DN=t,CN=t,
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×(6﹣3t)﹣t×t=﹣t2+18t;
③當<t≤2時,如圖3,S=S梯形OBDP=(2t+4)(6﹣3t)=﹣3t2+12;
(3)如圖4,由運動知,P(6-3t,0),Q(6-6t,0), ∴M(6-6t,3t), ∵T是正方形PQMN的對角線交點, ∴T(6-), ∴點T是直線y=-x+2上的一段線段,(-3≤x<6), 同理:點N是直線AG:y=-x+6上的一段線段,(0≤x≤6), ∴G(0,6), ∴OG=6, ∵A(6,0), ∴AG=6,在Rt△ABG中,OA=6=OG, ∴∠OAG=45°, ∵PN⊥x軸, ∴∠APN=90°, ∴∠ANP=45°, ∴∠TNA=90°, 即:TN⊥AG, ∵T正方形PQMN的對角線的交點, ∴TN=TP, ∴OT+TP=OT+TN, ∴點O,T,N在同一條直線上(點Q與點O重合時),且ON⊥AG時,OT+TN最小, 即:OT+TN最小, ∵S△OAG=OA×OG=AG×ON, ∴ON==. 即:OT+PT的最小值為3
【點睛】
此題是一次函數綜合題,主要考查了正方形的面積,梯形,三角形的面積公式,正方形的*質,勾股定理,鋭角三角函數,用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵,找出點T的位置是解本題(3)的難點.
知識點:一次函數
題型:解答題