如圖a,旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳(可視為剛*結構),三個相同凳腳的端點連線(均水平)構成邊長為a的等邊...
問題詳情:
如圖a,旅行車上有一個半徑為R的三腳圓凳(可視為剛*結構),三個相同凳腳的端點連線(均水平)構成邊長為a的等邊三角形,凳子質心位於其軸上的G點.半徑為r的一圓筒形薄壁茶杯放在凳面上,杯底中心位於凳面中心O點處,茶杯質量為m(遠小於凳子質量),其中杯底質量為(杯壁和杯底各自的質量分佈都是均勻的),杯高為H(與杯高相比,杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水,茶水密度為.重力加速度大小為g.
(1)為了使茶水杯所盛茶水儘可能多並保持足夠穩定,杯中茶水的最佳高度是多少?
(2)現該茶水杯的底面邊緣剛好緩慢滑移到與圓凳的邊緣內切於D點時靜止(凳面邊有小凸緣,可防止物體滑出;凳面和凳面邊的凸緣各自的質量分佈都是均勻的),且OD⊥AC(見圖b),求此時旅行車內底板對各凳腳的支持力相對於滑移前(該茶水杯位於凳面中心處)的改變.
【回答】
(1) (2)
【解析】
(1)以凳面中心O為座標原點,以過O點向上的豎直線為y軸.茶杯(包括茶水在內)的質心位置為
(1)
式中h是杯中茶水的高度.令,(1)式即
事實上,考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程,茶水杯整體的質心先是逐漸降低,然後再逐漸上升.為了使茶水杯盛儘可能多的茶水並保持足夠穩定,茶水杯整體的質心應儘可能接近凳面,處於最低點的位置,故有
(2)
由(1)(2)式得
(3)
捨棄負值(不合題意),杯中茶水的最佳高度為
(4)
【另一種解法】:
事實上,考慮在茶杯中茶水的水平面從杯底逐漸緩慢上升的過程,茶水杯整體的質心先是逐漸降低,然後再逐漸上升.為了使茶水杯盛儘可能多的茶水並保持足夠穩定,茶水杯整體的質心應儘可能接近凳面,處於最低點的位置.(1)式即
它滿足代數不等式
式中當h滿足
即
(4)
時取等號,即杯中茶水的最佳高度.】
(2)記凳子質量為M.該茶水杯的底面邊緣剛好滑移到與圓凳的邊緣內切於D點靜止後,座標系及三腳圓凳的受力分析分別如解題圖a和解題圖b所示,其中、和分別是車內底板對凳腳A、B和C的支持力.由幾何關係有
(5)
(6)
三腳圓凳處於力平衡狀態,豎直方向合力為零
(7)
(8)
式中,,P=Mg.由(7)(8)式得
以x軸為轉動軸,力矩平衡
(9)
記,由(5)(6)(9)式有
【另一種解法】
以AC為轉動軸,由力矩平衡條件有
(9)
即
聯立以上各式得
(10)
(11)
值得指出的是,解(10)滿足,即,
(12)
這已由題給條件保*了.
由(7)(10)(11)式得,此時旅行車內底板對各凳腳的支持力相對於茶水杯滑移前的改變為
(13)
(14)
知識點:物理競賽
題型:解答題