對於數列,若存在常數M>0,對任意的n∈N*,恆有,則稱數列為B-數列.(1)首項為1,公比q()的等比...
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問題詳情:
對於數列,若存在常數M>0,對任意的n∈N*,恆有,則稱數列為B-數列.
(1)首項為1,公比q()的等比數列是否為B-數列?請説明理由;
(2)設Sn是數列{xn}的前n項和,給出下列兩組論斷:
A組:①數列{xn}是B-數列,②數列{xn}不是B-數列
B組:①數列{Sn}是B-數列,②數列{Sn}不是B-數列
請以其中一組的一個論斷為條件,另一組的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假,並*你的結論.
(3)若數列{an}、都是B-數列,*:數列{anbn}也是B-數列
【回答】
(1)是B-數列(2)命題1為假命題. 命題2為真命題.(3)見解析
【詳解】
解:(1)設滿足條件的等比數列為{an},則.於是
因此,
因為|q|<1,所以
即
故首項為1,公比q(|q|<1)的等比數列是B-數列.
(2)命題1:若數列{xn}是B-數列,則數列{Sn}也是B-數列此命題為假命題.
事實上,設x=1,n∈N*,易知數列{xn}是B-數列,但Sn=n,
此時.
由n的任意*,知數列{Sn}不是B-數列
命題2:若數列{Sn}是B-數列,則數列{xn}也是B-數列此命題為真命題.
事實上,因為數列{Sn}是B-數列,所以存正數M,對任意n∈N*有
即.於是
所以數列{xn}是B-數列
按題中要求組成其它命題時,仿上述解法即可獲得解決.
(3)若數列{an}、{bn}都是B-數列,則存在正數M1,M2,使得對任意n∈N*,有
,
.
注意到
同理,可得.記,則有
因此,.
故數列數列{anbn}是B-數列.
知識點:數學競賽
題型:解答題