已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設直線與橢圓C交於A、B兩點...
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問題詳情：
已知橢圓C:
的離心率為
,短軸一個端點到右焦點的距離為
.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線
與橢圓C交於A、B兩點，以
弦為直徑的圓過座標原點
，試探討點
到直線
的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，説明理由.
【回答】
解：（1）設橢圓的半焦距為
，依題意
， …………… 3分
所求橢圓方程為
．……………………………………………………… 4分
（2）設
，
．
①當
軸時，設
方程為：
，此時
兩點關於
軸對稱，
又以
為直徑的圓過原點，設
代人橢圓方程得：
………………6分
②當
與
軸不垂直時，
設直線
的方程為
．聯立
，
整理得
，
，
．…………………………………………………9分
又
。
由以
為直徑的圓過原點，則有
。 即：
故滿足：
得： 
…………………….10分
所以
=
。又點
到直線
的距離為：
。
綜上所述：點
到直線
的距離為定值
。…………………………………………13分
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
