如圖，在平面直角座標系中，以座標原點O為圓心，2為半徑畫圓，P是⊙O上一動點且在第一象限內，過點P作⊙O的切線...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，以座標原點O為圓心，2為半徑畫圓，P是⊙O上一動點且在第一象限內，過點P作⊙O的切線，與x、y軸分別交於點A、B．

（1）求*：△OBP與△OPA相似；

（2）當點P為AB中點時，求出P點座標；

（3）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q，O，A、P為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，試求出Q點座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：（1）*：

∵AB是過點P的切線，

∴AB⊥OP，∴∠OPB=∠OPA=90°；（1分）

∴在Rt△OPB中，∠1+∠3=90°，

又∵∠BOA=90°∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3；（1分）

在△OPB中△APO中，

∴△OPB∽△APO．（2分）

（2）∵OP⊥AB，且PA=PB，

∴OA=OB，

∴△AOB是等腰三角形，

∴OP是∠AOB的平分線，

∴點P到x、y軸的距離相等；（1分）

又∵點P在第一象限，

∴設點P（x，x）（x＞0），

∵圓的半徑為2，

∴OP=，解得x=或x=﹣（捨去），（2分）

∴P點座標是（，）．（1分）

（3）存在；

①如圖設OAPQ為平行四邊形，∴PQ∥OA，OQ∥PA；

∵AB⊥OP，∴OQ⊥OP，PQ⊥OB，

∴∠POQ=90°，[來源:學|科|網Z|X|X|K]

∵OP=OQ，

∴△POQ是等腰直角三角形，

∴OB是∠POQ的平分線且是邊PQ上的中垂線，

∴∠BOQ=∠BOP=45°，

∴∠AOP=45°，

設P（x，x）、Q（﹣x，x）（x＞0），（2分）

∵OP=2代入得，解得x=，

∴Q點座標是（﹣，）；（1分）

②如圖示OPAQ為平行四邊形，

同理可得Q點座標是（，﹣）．（1分）

知識點：相似三角形

題型：解答題