已知函數，．   （1）當時，        ①若曲線與直線相切，求c的值；②若曲線與直線有公共點，求c的取值...

問題詳情：

已知函數，．

    （1）當時，

         ①若曲線與直線相切，求c的值；

②若曲線與直線有公共點，求c的取值範圍．

（2）當時，不等式對於任意正實數x恆成立，當c取得

最大值時，求a，b的值．

【回答】

（1）解：當時，，所以．

         ①設切點為，則                    …… 2分

由②③得，

由①得代入④得，

           所以．                                       …… 4分

        ②由題意，得方程有正實數根，

即方程有正實數根，

          記，令，

          當時，；當時，；

          所以在上為減函數，在上為增函數；

          所以．                                  …… 6分

          若，則，不合；

          若，由①知適合；

          若，則，又，

所以，由零點存在*定理知在上必有零點．

          綜上，c的取值範圍為．                          …… 9分

（2）由題意得，當時，對於任意正實數x恆成立，

     所以當時，對於任意正實數x恆成立，

     由（1）知，，

     兩邊同時乘以x得，①，

     兩邊同時加上得，②，

     所以（*），若且唯若時取等號．

     對（*）式重複以上步驟①②可得，，

     進而可得，，，……，

所以當，時，，若且唯若時取等號．

所以．                                              …… 12分

當取最大值1時，對於任意正實數x恆成立，

令上式中得， ，所以，

所以對於任意正實數x恆成立，

即對於任意正實數x恆成立，

所以，所以函數的對稱軸，

所以，即，所以，．  …… 14分

又由，兩邊同乘以x2得，，

所以當，時，也恆成立，

綜上，得，．                                  …… 16分

知識點：導數及其應用

題型：解答題