如圖，在正三稜柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線...
來源：國語幫 6.08K
問題詳情：
如圖，在正三稜柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．
（1）求異面直線BP與AC1所成角的餘弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．
【回答】
（1）
（2）
【解析】
分析：（1）先建立空間直角座標系，設立各點座標，根據向量數量積求得向量的夾角，再根據向量夾角與異面直線所成角的關係得結果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據向量數量積得向量夾角，最後根據線面角與所求向量夾角之間的關係得結果.
詳解：如圖，在正三稜柱ABC−A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角座標系O−xyz．
因為AB=AA1=2，
所以．
（1）因為P為A1B1的中點，所以，
從而，
故．
因此，異面直線BP與AC1所成角的餘弦值為．
（2）因為Q為BC的中點，所以，
因此，．
設n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，
則即
不妨取，
設直線CC1與平面AQC1所成角為，
則，
所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．
點睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎知識，考查運用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關鍵在於“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角座標系；第二，破“求座標關”，準確求解相關點的座標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.
知識點：空間中的向量與立體幾何
題型：解答題
