已知數列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,Sn=2an+k,等差數列{bn}的前n項和為Tn,且Tn=n2...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,Sn=2an+k,等差數列{bn}的前n項和為Tn,且Tn=n2.

(1)求k和Sn;

(2)若cn=an·bn,求數列{cn}的前n項和Mn.

【回答】

解 (1)∵Sn=2an+k,

∴當n=1時,S1=2a1+k.

∴a1=-k=2,即k=-2.

∴Sn=2an-2.

∴當n≥2時,Sn-1=2an-1-2.

∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.

∴an=2an-1.

∴數列{an}是以2為首項,2為公比的等比數列.∴{an}=2n.

∴Sn=2n+1-2.

(2)∵等差數列{bn}的前n項和為Tn,且Tn=n2,

∴當n≥2時,bn=Tn-Tn-1=n2-(n-1)2=2n-1.

又b1=T1=1符合bn=2n-1,

∴bn=2n-1.∴cn=an·bn=(2n-1)2n.

∴數列{cn}的前n項和

Mn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,①

∴2Mn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,②

由①-②,得-Mn=2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n-(2n-1)×2n+1

=2+2×-(2n-1)×2n+1,

即Mn=6+(2n-3)2n+1.

知識點：數列

題型：解答題