對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下*作:先沿CE摺疊,使點B落在CD邊上(如圖①),再沿CH摺疊,這時發現點...
問題詳情:
對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下*作:先沿CE摺疊,使點B落在CD邊上(如圖①),再沿CH摺疊,這時發現點E恰好與點D重合(如圖②)
(1)根據以上*作和發現,求的值;
(2)將該矩形紙片展開.
①如圖③,摺疊該矩形紙片,使點C與點H重合,摺痕與AB相交於點P,再將該矩形紙片展開.求*:∠HPC=90°;
②不借助工具,利用圖④探索一種新的摺疊方法,找出與圖③中位置相同的P點,要求只有一條摺痕,且點P在摺痕上,請簡要説明摺疊方法.(不需説明理由)
【回答】
【分析】(1)依據△BCE是等腰直角三角形,即可得到CE=BC,由圖②,可得CE=CD,而AD=BC,即可得到CD=AD,即=;
(2)①由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,依據勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2,進而得出AP=BC,再根據PH=CP,∠A=∠B=90°,即可得到Rt△APH≌Rt△BCP(HL),進而得到∠CPH=90°;
②由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,故沿着過D的直線翻折,使點A落在CD邊上,此時摺痕與AB的交點即為P;由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,進而得到CP平分∠BCE,故沿着過點C的直線摺疊,使點B落在CE上,此時,摺痕與AB的交點即為P.
【解答】解:(1)由圖①,可得∠BCE=∠BCD=45°,
又∵∠B=90°,
∴△BCE是等腰直角三角形,
∴=cos45°=,即CE=BC,
由圖②,可得CE=CD,而AD=BC,
∴CD=AD,
∴=;
(2)①設AD=BC=a,則AB=CD=a,BE=a,
∴AE=(﹣1)a,
如圖③,連接EH,則∠CEH=∠CDH=90°,
∵∠BEC=45°,∠A=90°,
∴∠AEH=45°=∠AHE,
∴AH=AE=(﹣1)a,
設AP=x,則BP=a﹣x,由翻折可得,PH=PC,即PH2=PC2,
∴AH2+AP2=BP2+BC2,
即[(﹣1)a]2+x2=(a﹣x)2+a2,
解得x=a,即AP=BC,
又∵PH=CP,∠A=∠B=90°,
∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL),
∴∠APH=∠BCP,
又∵Rt△BCP中,∠BCP+∠BPC=90°,
∴∠APH+∠BPC=90°,
∴∠CPH=90°;
②折法:如圖,由AP=BC=AD,可得△ADP是等腰直角三角形,PD平分∠ADC,
故沿着過D的直線翻折,使點A落在CD邊上,此時摺痕與AB的交點即為P;
折法:如圖,由∠BCE=∠PCH=45°,可得∠BCP=∠ECH,
由∠DCE=∠PCH=45°,可得∠PCE=∠DCH,
又∵∠DCH=∠ECH,
∴∠BCP=∠PCE,即CP平分∠BCE,
故沿着過點C的直線摺疊,使點B落在CE上,此時,摺痕與AB的交點即為P.
【點評】本題屬於摺疊問題,主要考查了等腰直角三角形的*質,矩形的*質,全等三角形的判定與*質的綜合運用,摺疊是一種對稱變換,它屬於軸對稱,摺疊前後圖形的形狀和大小不變,對應邊和對應角相等.解題時常常設要求的線段長為x,然後根據摺疊和軸對稱的*質用含x的代數式表示其他線段的長度,選擇適當的直角三角形,運用勾股定理列出方程求出*.
知識點:各地中考
題型:綜合題