已知f(x-1)=2ln(x-1)-+k(x>1).(1)判斷當-1≤k≤0時f(x)的單調*;(2)若...

問題詳情：

已知f(x-1)=2ln(x-1)-+k(x>1).

(1)判斷當-1≤k≤0時f(x)的單調*;

(2)若x1,x2(x1≠x2)為f(x)兩個極值點,求*:x[f(x1)+f(x2)]≥(x+1)[f(x)+2-2x].

【回答】

(1)解因為f(x-1)=2ln(x-1)+(x>1),

所以f(x)=2lnx+(x>0).

f'(x)=

當-1≤k≤0時,Δ=(4+k)2-16=k(k+8)≤0,2x2+(4+k)x+2>0恆成立.

於是,f(x)在定義域上為單調增函數.

(2)*∵f'(x)=,

由題設知,f'(x)=0有兩個不相等的正實數根x1,x2,則

解得k<-8,

而f(x1)+f(x2)=2lnx1++2lnx2+=2ln(x1x2)+k

=2ln(x1x2)+k

=k.

又=k,

故欲*原不等式等價於*不等式

[f(x)-2(x-1)],

也就是要*對任意x>0,有lnx≤x-1.

令g(x)=lnx-x+1(x>0),由於g(1)=0,並且g'(x)=-1,

當x>1時,g'(x)<0,則g(x)在(1,+∞)上為減函數;

當0<x<1時,g'(x)>0,則g(x)在(0,1)上為增函數.

則g(x)在(0,+∞)上有最大值g(1)=0,即g(x)≤0,故原不等式成立.

知識點：不等式

題型：解答題