數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．（Ⅰ）設bn=an+1﹣an，*{bn}...

問題詳情：

數列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．

（Ⅰ）設bn=an+1﹣an，*{bn}是等差數列；

（Ⅱ）求{an}的通項公式．

【回答】

解答：

解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，

an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，

由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，

即bn+1﹣bn=2，

又b1=a2﹣a1=1，

所以{bn}是首項為1，公差為2的等差數列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，

則a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，

所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1

==（n﹣1）2，

又a1=1，

所以{an}的通項公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．

知識點：數列

題型：解答題