已知正項等比數列{an}(n∈N*)，首項a1＝3，前n項和為Sn，且S3＋a3、S5＋a5，S4＋a4成等差...
來源：國語幫 2.07W
問題詳情：
已知正項等比數列{an}(n∈N*)，首項a1＝3，前n項和為Sn，且S3＋aS5＋a5，S4＋a4成等差數列．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）數列{nan}的前n項和為Tn，若對任意正整數n，都有Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．
【回答】
(1)an＝3×(
)n－1.(2)9.
試題解析：(1)設等比數列{an}的公比為q，
∵S3＋aS5＋aS4＋a4成等差數列，
∴有2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)
即2(a1＋a2＋a3＋a4＋2a5)＝(a1＋a2＋2a3)＋(a1＋a2＋a3＋2a4)，
化簡得4a5＝a3，從而4q2＝1，解得q＝±
，
∵an＞0，∴q＝
，得an＝3×(
)n－1.
(2)由(1)知，nan＝3n×(
)n－1，Tn＝3×1＋3×2×(
)＋3×3×(
)2＋…＋3n(
)n－1;
Tn＝3×1×(
)＋3×2×(
)2＋…＋3(n－1)×(
)n－1＋3n(
)n
兩式相減得：
Tn＝3×1＋3×(
)＋3×(
)2＋…＋3×(
)n－1－3n(
)n
＝3×
－3n(
)n＝6－
，
∴Tn＝12－
＜12.
又nan＝3n×(
)n－1＞0，∴{Tn}單調遞增，
∴(Tn)min＝T1＝3，故有3≤Tn＜12.
∵對任意正整數n，都有Tn∈[a，b]，
∴a≤3，b≥12.
即a的最大值為3，b的最小值為12.
故(b－a)min＝12－3＝9.
知識點：數列
題型：解答題
