如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交於A(-4,-4),B(0,4)兩點,直線AC:y=-x-6交y軸...
問題詳情:
如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交於A(-4,-4),B(0,4)兩點,直線AC:y=-x-6交y軸與點C.點E是直線AB上的動點,過點E作EF⊥x軸交AC於點F,交拋物線於點G.
(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達式;
(2)連接GB、EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的座標;
(3)①在y軸上存在一點H,連接EH、HF,當點E運動到什麼位置時,以A、E、F、H為頂點的四邊形是矩形?求出此時點E、H的座標;
②在①的前提下,以點E為圓心,EH長為半徑作圓,點M為⊙E上一動點,求AM+CM的最小值.
【回答】
(1)y=-x2-2x+4;(2)G(-2,4);(3)①H(0,-1);②
【解析】
分析:(1)利用待定係數法求出拋物線解析式;
(2)先利用待定係數法求出直線AB的解析式,進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可;
(3)①先判斷出要以點A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形,只有EF為對角線,利用中點座標公式建立方程即可;
②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM,連接CP交圓E於M,再求出點P的座標即可得出結論.
詳解:(1)(1)∵點A(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4;
(2)設直線AB的表達式為y=kx+b
∵直線AB過點A(-4,-4),B(0,4),
∴,解得,
∴y=2x+4
設E(m,2m+4),則G(m,-m2-2m+4)
∵四邊形GEOB是平行四邊形,
∴GE=OB=4,
∴-m2-2m+4-2m-4=4,解得m=-2
∴G(-2,4)
(3)①設E(m,2m+4),則F(m,-m-6)
過A作AN⊥EG,過H作HQ⊥EG
四邊形AFHE是矩形,∴△PFN≌△HEQ,∴AN=QH,∴m+4=-m,解得m=-2,E(-2,0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0,-1)
②由題意可得,E(-2,0),H(0,-1),∴EH=,即⊙E的半徑為,
∵M點在⊙E上,∴EM=
∵A(-4,-4),E(-2,0),∴AE=2
在AE上截取EP=EM,則EP=,連接PM,
在ΔEPM與ΔEMA中,∵====,∠PEM=∠MEA,∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴線段PC的長即為AM+CM的最小值
由EP=EM=AE=×2=,AP=AE-PE= , AC=2 ∴PC=
即AM+CM的最小值為.
點睛:此題是二次函數綜合題,主要考查了待定係數法,平行四邊形的*質,矩形的*質,相似三角形的判定和*質,中點座標公式,極值的確定,解(1)的關鍵是掌握待定係數法,解(2)的關鍵是利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解,解(3)①的關鍵是利用中點座標公式建立方程求解,解(3)②的關鍵是構造相似三角形,是一道中等難度的題目.
知識點:實際問題與二次函數
題型:解答題