如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規劃在公路l上...
問題詳情：
如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規劃在公路l上選兩個點P、Q，並修建兩段直線型道路PB、QA．規劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小於圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．
（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；
（2）在規劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？並説明理由；
（3）對規劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．
【回答】
（1）15（百米）；
（2）見解析；
（3）17+
（百米）.
【分析】
解：解法一：
（1）過A作
，垂足為E.利用幾何關係即可求得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然後再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．
解法二：
（1）建立空間直角座標系，分別確定點P和點B的座標，然後利用兩點之間距離公式可得道路PB的長；
（2）分類討論P和Q中能否有一個點選在D處即可.
（3）先討論點P的位置，然後再討論點Q的位置即可確定當d最小時，P、Q兩點間的距離．
【詳解】
解法一：
（1）過A作
，垂足為E.
由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，
.
因為PB⊥AB，
所以
.
所以
.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小於圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規劃要求.
②若Q在D處，連結AD，由（1）知
，
從而
，所以∠BAD為鋭角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小於圓O的半徑.
因此，Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小於圓O的半徑，點P不符合規劃要求；
當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小於圓O的半徑，點P符合規劃要求.
設
為l上一點，且
，由（1）知，
，
此時
；
當∠OBP>90°時，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再討論點Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位於點C的右側，才能符合規劃要求.當QA=15時，
.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小於圓O的半徑.
綜上，當PB⊥AB，點Q位於點C右側，且CQ=
時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+
.
因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+
（百米）.
解法二：
（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H.
以O為座標原點，直線OH為y軸，建立平面直角座標系.
因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱座標分別為3，−3.
因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A（4，3），B（−4，−3），直線AB的斜率為
.
因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為
，
直線PB的方程為
.
所以P（−13，9），
.
因此道路PB的長為15（百米）.
（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（−4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規劃要求.
②若Q在D處，連結AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以線段AD：
.
在線段AD上取點M（3，
），因為
，
所以線段AD上存在點到點O的距離小於圓O的半徑.
因此Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上，P和Q均不能選在D處.
（3）先討論點P的位置.
當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小於圓O的半徑，點P不符合規劃要求；
當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小於圓O的半徑，點P符合規劃要求.
設
為l上一點，且
，由（1）知，
，此時
；
當∠OBP>90°時，在
中，
.
由上可知，d≥15.
再討論點Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位於點C的右側，才能符合規劃要求.
當QA=15時，設Q（a，9），由
，
得a=
，所以Q（
，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小於圓O的半徑.
綜上，當P（−13，9），Q（
，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離
.
因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為
（百米）.
【點睛】
本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數學建模及運用數學知識分析和解決實際問題的能力.
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
