已知函數f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調*；（2）*：；（3）設n∈...

問題詳情：

已知函數f(x)=sin2xsin2x.

（1）討論f(x)在區間(0，π)的單調*；

（2）*：；

（3）設n∈N*，*：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

【回答】

（1）當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）*見解析；（3）*見解析.

【分析】

(1)首先求得導函數的解析式，然後由導函數的零點確定其在各個區間上的符號，最後確定原函數的單調*即可；

(2)首先確定函數的週期*，然後結合(1)中的結論確定函數在一個週期內的最大值和最小值即可*得題中的不等式；

(3)對所給的不等式左側進行恆等變形可得，然後結合(2)的結論和三角函數的有界*進行放縮即可*得題中的不等式.

【詳解】

(1)由函數的解析式可得：，則：

，

在上的根為：，

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增.

(2)注意到，

故函數是週期為的函數，

結合(1)的結論，計算可得：，

，，

據此可得：，，

即.

(3)結合(2)的結論有：

.

【點睛】

導數是研究函數的單調*、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯繫． (2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調*；已知單調*，求參數． (3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題． (4)考查數形結合思想的應用．

知識點：導數及其應用

題型：解答題