已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，若過的動直線與曲線相交於兩點（1）説明曲線的形狀，並寫...
來源：國語幫 1.57W
問題詳情：
已知曲線
上動點
與定點
的距離和它到定直線
的距離的比是常數
，若過
的動直線與曲線
相交於
兩點
（1）説明曲線
的形狀，並寫出其標準方程；
（2）是否存在與點
不同的定點
，使得
恆成立？若存在，求出點
的座標；若不存在，請説明理由
【回答】
【詳解】（1）設動點
座標為
點
到直線
的距離為
．依題意可知
則
化簡得
所以曲線
是橢圓，它的標準方程為
（2）①當直線與
軸垂直時，由橢圓的對稱*可知
，又因為
,則
從而點
必在
軸上.
②當直線與
軸垂直時，則
，由①可設
，
由
得
，解得
（捨去），或
．
則點
的座標只可能是
．
下面只需*直線斜率存在且
時均有
即可.
設直線的方程為
，代入
得
.
設
所以
設點
關於
軸對稱的點座標
因為直線
的斜率
同理得直線
的斜率
，三點
共線.
故
.
所以存在點
滿足題意．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
