如圖，在一旅遊區內原有兩條互相垂直且相交於點O的道路l1，l2，一自然景觀的邊界近似為圓形，其半徑約為1千米，...
來源：國語幫 1.61W
問題詳情：
如圖，在一旅遊區內原有兩條互相垂直且相交於點O的道路l1，l2，一自然景觀的邊界近似為圓形，其半徑約為1千米，景觀的中心C到l1，l2的距離相等，點C到點O的距離約為10千米.現擬新建四條遊覽道路方便遊客參觀，具體方案：在線段OC上取一點P，新建一條道路OP，並過點P新建兩條與圓C相切的道路PM，PN（M，N為切點），同時過點P新建一條與OP垂直的道路AB（A，B分別在l1，l2上）.為促進沿途旅遊經濟，新建道路長度之和越大越好，求新建道路長度之和的最大值.（所有道路寬度忽略不計）
【回答】
千米
【分析】
設ÐPCM＝q，用
表示出各道路長，並求出和
.然後求導，用導數知識求得最大值．
【詳解】
解：連接CM，設ÐPCM＝q，則PC＝
，PM＝PN＝tanq，
OP＝OC﹣PC＝10﹣
，AB＝2OP＝20﹣
，
設新建的道路長度之和為
，
則
，
由1＜PC≤10得
≤
＜1，設
，
(0，
)，
則
，
，
，令
得
設
，
，q，
，
的情況如下表：
| (0， |
| ( |
| ＋ | 0 | － |
| 單調遞增 | 極大值 | 單調遞減 |
)
，
)
由表可知
時
有極大值也是最大值，此時
，
，
，
.
答：新建道路長度之和的最大值為
千米.
【點睛】
本題考查導數的實際應用，解題關鍵是建立三角函數的模型，引入參數ÐPCM＝q，把各道路長用
表示，並求出和
.
知識點：三角函數
題型：解答題
