方程ax2+2x+1=0,a∈R的根構成*A.(1)當A中有且只有一個元素時,求a的值,並求此元素;(2)當...

問題詳情：

方程ax2+2x+1=0,a∈R的根構成*A.

(1)當A中有且只有一個元素時,求a的值,並求此元素;

(2)當A中至少有一個元素時,求a滿足的條件.

【回答】

解(1)A中有且只有一個元素,即ax2+2x+1=0有且只有一個根或有兩個相等的實根.

①當a=0時,方程的根為x=-;

②當a≠0時,由Δ=4-4a=0,得a=1,此時方程的兩個相等的根為x1=x2=-1.

綜上可知,當a=0時,*A中的元素為-;

當a=1時,*A中的元素為-1.

(2)A中至少有一個元素,即方程ax2+2x+1=0有兩個不相等的實根或有兩個相等的實根或有一個實根.

①當方程有兩個不相等的實根時,a≠0,且Δ=4-4a>0,即a<1,且a≠0;

②當方程有兩個相等的實根時,a≠0,且Δ=4-4a=0,即a=1;

③當方程有一個實根時,a=0,

此時2x+1=0,得x=-,符合題意.

由①②③可知,當A中至少有一個元素時,a滿足的條件是a≤1.

知識點：*與函數的概念

題型：解答題