為建設美麗鄉村，*欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態休閒園，園區內有一景觀湖EFG（圖中...

問題詳情：

為建設美麗鄉村，*欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態休

閒園，園區內有一景觀湖EFG（圖中*影部分）．以AB所在直線為x 軸，AB的垂直

平分線為y 軸，建立平面直角座標系（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數

模型．園區服務中心P在x 軸正半軸上，PO=百米．

（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閒長廊OM，求OM的

最短長度；

（2）若在線段DE上設置一園區出口Q，試確定Q的位置，使通道PQ最短．

【回答】

解：（1）（方法一）設，，

    則 ，                                   

若且唯若，即時取等號．

所以的最小值為百米．                  

（方法二）設直線（其中斜率一定存在），代入，

得，化簡為．

設則，（）                              

所以，

令，則，

若且唯若等號成立，即時成立．

綜上，的最短長度為百米．                     

（2）當直線與邊界曲線相切時，最短．    

設切點為，由得，

所以切線的方程為．                

因為在軸正半軸上，且PO=，所以點座標為．

因為切線過點，所以，     

整理得，解得，或．             

因為，所以，此時切點為，切線方程為．

令，得，即點在線段上且距離軸百米．

答：當點在線段上且距離軸百米，通道PQ最短．   

知識點：函數的應用

題型：解答題