已知如圖,在平面直角座標系xOy中,點A、B、C分別為座標軸上的三個點,且OA=1,OB=3,OC=4,(1)...
問題詳情:
已知如圖,在平面直角座標系xOy中,點A、B、C分別為座標軸上的三個點,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求經過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)在平面直角座標系xOy中是否存在一點P,使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形?若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由;
(3)若點M為該拋物線上一動點,在(2)的條件下,請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的座標,並直接寫出|PM﹣AM|的最大值.
【回答】
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把A,B,C三點座標代入求出a,b,c的值,即可確定出所求拋物線解析式;
(2)在平面直角座標系xOy中存在一點P,使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,理由為:根據OA,OB,OC的長,利用勾股定理求出BC與AC的長相等,只有當BP與AC平行且相等時,四邊形ACBP為菱形,可得出BP的長,由OB的長確定出P的縱座標,確定出P座標,當點P在第二、三象限時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形;
(3)利用待定係數法確定出直線PA解析式,當點M與點P、A不在同一直線上時,根據三角形的三邊關係|PM﹣AM|<PA,當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|=PA,
當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|的值最大,即點M為直線PA與拋物線的交點,聯立直線AP與拋物線解析式,求出當|PM﹣AM|的最大值時M座標,確定出|PM﹣AM|的最大值即可.
【解答】解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),
∴,
解得:a=﹣,b=﹣,c=3,
∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3;
(2)在平面直角座標系xOy中存在一點P,使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形,理由為:
∵OB=3,OC=4,OA=1,
∴BC=AC=5,
當BP平行且等於AC時,四邊形ACBP為菱形,
∴BP=AC=5,且點P到x軸的距離等於OB,
∴點P的座標為(5,3),
當點P在第二、三象限時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形,不是菱形,
則當點P的座標為(5,3)時,以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形;
(3)設直線PA的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵A(1,0),P(5,3),
∴,
解得:k=,b=﹣,
∴直線PA的解析式為y=x﹣,
當點M與點P、A不在同一直線上時,根據三角形的三邊關係|PM﹣AM|<PA,
當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|=PA,
∴當點M與點P、A在同一直線上時,|PM﹣AM|的值最大,即點M為直線PA與拋物線的交點,
解方程組,得或,
∴點M的座標為(1,0)或(﹣5,﹣)時,|PM﹣AM|的值最大,此時|PM﹣AM|的最大值為5.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題