如圖,OABC是一張放在平面直角座標系中的矩形紙片,O為座標原點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=9,OC=...

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問題詳情：

如圖,OABC是一張放在平面直角座標系中的矩形紙片,O為座標原點,點A在x軸上,點C在y軸上,OA=9,OC=15,將矩形紙片OABC繞O點順時針旋轉90°得到矩形OA1B1C1.將矩形OA1B1C1摺疊,使得點B1落在x軸上,並與x軸上的點B2重合,摺痕為A1D. (Ⅰ)求點B2的座標; (Ⅱ)求摺痕A1D所在直線的解析式; (Ⅲ)在x軸上是否存在點P,使得∠BPB1為直角？若存在,求出點P的座標;若不存在,請説明理由.

【回答】

解:(Ⅰ)由條件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9, ∴在Rt△A1OB2中,OB2＝＝12, ∴點B2座標為(12,0); (Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,則B1D=9－m, ∵B1D=B2D, ∴＝9−m, 解得m=4, ∴D點的座標為(15,4), 又∵A1(0,9), 設摺痕A1D所在直線的解析式為y=kx＋b(k≠0), ∴, 解得, 即摺痕A1D所在直線的解析式為y＝−x＋9; (Ⅲ)假設存在P點, ∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°, ∴∠BPA＋∠B1PC1=90°, ∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°, ∴∠ABP=∠B1PC1. 在△BAP和△PC1B1中,, ∴△BAP∽△PC1B1. ∴, ∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,設PC1的長為m, ∴, 解得m1=15或m2=9. 經檢驗m1=15或m2=9是方程的兩根, 當PC1=15時,P點座標為(0,0); 當PC1=9時,P點座標為(6,0). 綜上所述,P點座標為(0,0),(6,0).