如圖所示，在平面直角座標系中，⊙C經過座標原點O，且與x軸，y軸分別相交於M（4，0），N（0，3）兩點．已知...

問題詳情：

如圖所示，在平面直角座標系中，⊙C經過座標原點O，且與x軸，y軸分別相交於M（4，0），N（0，3）兩點．已知拋物線開口向上，與⊙C交於N，H，P三點，P為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經過點C且垂直x軸於點D．

（1）求線段CD的長及頂點P的座標；

（2）求拋物線的函數表達式；

（3）設拋物線交x軸於A，B兩點，在拋物線上是否存在點Q，使得S四邊形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，請求出Q點的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）如圖，連接OC，

∵M（4，0），N（0，3），

∴OM=4，ON=3，

∴MN=5，

∴OC=MN=，

∵CD為拋物線對稱軸，

∴OD=MD=2，

在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，

∴PD=PC﹣CD=﹣=1，

∴P（2，﹣1）；

（2）∵拋物線的頂點為P（2，﹣1），

∴設拋物線的函數表達式為y=a（x﹣2）2﹣1，

∵拋物線過N（0，3），

∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，

∴拋物線的函數表達式為y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB=3﹣1=2，

∵ON=3，OM=4，PD=1，

∴S四邊形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，

∴S△QAB=1，

設Q點縱座標為y，則×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，

當y=1時，則△QAB為鈍角三角形，而△OBN為直角三角形，不合題意，捨去，

當y=﹣1時，可知P點即為所求的Q點，

∵D為AB的中點，

∴AD=BD=QD，

∴△QAB為等腰直角三角形，

∵ON=OB=3，

∴△OBN為等腰直角三角形，

∴△QAB∽△OBN，

綜上可知存在滿足條件的點Q，其座標為（2，﹣1）．

知識點：各地中考

題型：綜合題