瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位於同一直線上.這條直線被後人稱為三角形的“歐...

問題詳情：

瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位於同一直線上.這條直線被後人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角座標系中作△ABC，AB＝AC＝4，點B(－1，3)，點C(4，－2)，且其“歐拉線”與圓M：相切，則下列結論正確的是（    ）

A．圓M上點到直線的最小距離為2

B．圓M上點到直線的最大距離為3

C．若點（x，y）在圓M上，則的最小值是

D．圓與圓M有公共點，則a的取值範圍是

【回答】

ACD

【分析】

由題意結合“歐拉線”概念可得△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，結合直線方程的知識可得線段BC的垂直平分線的方程，由直線與圓相切可得圓M的方程；由圓心到直線的距離可判斷A、B；令，由直線與圓相切可得z的最值，即可判斷C；由圓與圓的位置關係即可判斷D；即可得解.

【詳解】

由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的“歐拉線”即為線段BC的垂直平分線，

由點B(－1,3)，點C(4,－2)可得線段BC的中點為，且直線的BC的斜率，

所以線段BC的垂直平分線的斜率，

所以線段BC的垂直平分線的方程為即，

又圓M：的圓心為，半徑為，

所以點到直線的距離為，

所以圓M：，

對於A、B，圓M的圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的最小距離為，最大距離為，故A正確，B錯誤；

對於C，令即，當直線與圓M相切時，圓心到直線的距離為，解得或，則的最小值是，故C正確；

對於D，圓圓心為，半徑為，若該圓與圓M有公共點，則即，解得，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查了直線方程的求解及直線與圓、圓與圓位置關係的應用，考查了運算求解能力與轉化化歸思想，屬於中檔題.

知識點：圓與方程

題型：選擇題