我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成...
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問題詳情：
我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形.若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”.
(1) 等邊三角形“內似線”的條數為 ；
(2) 如圖，△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求*：BD是△ABC的“內似線”；
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長.
【回答】
(1) 解：等邊三角形“內似線”的條數為3條；理由如下：
過等邊三角形的內心分別作三邊的平行線，如圖1所示：
則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的內似線”；
故*為：3；
(2) *：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似線”；
(3) 解：設D是△ABC的內心，連接CD，
則CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似線”，
∴△CEF與△ABC相似；
分兩種情況：①當
=
=
時，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=
=5，
作DN⊥BC於N，如圖2所示：
則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內切圓半徑，
∴DN=
（AC+BC﹣AB）=1，
∵CD平分∠ACB，
∴
=
，
∵DN∥AC，
∴
=
，即
，
∴CE=
，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴
，即
，
解得：EF=
；
②當
=
=
時，同理得：EF=
；
綜上所述，EF的長為
．
知識點：相似三角形
題型：解答題
