如圖1，矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點（不與A，B重合），把△ADE沿DE翻折，點A的對應點為A1，延長...

問題詳情：

如圖1，矩形ABCD中，點E為AB邊上的動點（不與A，B重合），把△ADE沿DE翻折，點A的對應點為A1，延長EA1交直線DC於點F，再把∠BEF摺疊，使點B的對應點B1落在EF上，摺痕EH交直線BC於點H．

（1）求*：△A1DE∽△B1EH；

（2）如圖2，直線MN是矩形ABCD的對稱軸，若點A1恰好落在直線MN上，試判斷△DEF的形狀，並説明理由；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點G為△DEF內一點，且∠DGF＝150°，試探究DG，EG，FG的數量關係．

【回答】

解：（1）*：由摺疊的*質可知：∠DAE＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，

∴∠DEA1+∠HEB1＝90°．

又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，

∴∠DEA1＝∠EHB1，

∴△A1DE∽△B1EH；

（2）結論：△DEF是等邊三角形；

理由如下：

∵直線MN是矩形ABCD的對稱軸，

∴點A1是EF的中點，即A1E＝A1F，

在△A1DE和△A1DF中

，

∴△A1DE≌△A1DF（SAS），

∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，

又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．

∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，

∴∠EDF＝60°，

∴△DEF是等邊三角形；

（3）DG，EG，FG的數量關係是DG2+GF2＝GE2，

理由如下：由（2）可知△DEF是等邊三角形；將△DGE逆時針旋轉60°到△DG'F位置，如解圖（1），

∴G'F＝GE，DG'＝DG，∠GDG'＝60°，

∴△DGG'是等邊三角形，

∴GG'＝DG，∠DGG'＝60°，

∵∠DGF＝150°，

∴∠G'GF＝90°，

∴G'G2+GF2＝G'F2，

∴DG2+GF2＝GE2，

知識點：勾股定理

題型：解答題