如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD. (1)求二面角A-PB-D的大小, (2)在...
問題詳情:
如圖,已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD.
(1)求二面角A-PB-D的大小,
(2)在線段PB上是否存在一點E,使PC⊥平面ADE?若存在,確定E點的位置,若不存在,説明理由.
【回答】
(1)解法一:聯結AC交DB於點O. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
作OF⊥PB於點F,聯結AF,則AF⊥PB. ∴∠OFA就是二面角A-PB-D的平面角.
∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB. 令PD=AD=2,則在RTABC中,PA=,AB=2.
∴PB=,∴.
∴在RTAOF中,sin,∴.
∴二面角A-PB-D的大小為.
解法二:建立如圖所示的直角座標系.
聯結AC,交BD於點O,取PA中點G,聯結DG.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥DB.
又PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面PBD.
∵PD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAD.
∵PD=AD,G為PA中點, ∴GD⊥平面PAB.
故向量分別是平面PBD與平面PAB的法向量.
令PD=AD=2,則A(2,0,0),C(0,2,0),∴=(-2,2,0).
∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1).
∴向量的夾角餘弦為,
∴,∴二面角A-PB-D的大小為.
(2)解法一: 當點E是線段PB中點時,有PC⊥平面ADE.
*如下:
取PC中點H,聯結EH,DH,則有EH∥BC,
又BC∥AD,故有EH∥AD. ∴平面ADE即平面ADHE.
∵PD=DC,H為PC中點, ∴PC⊥DH.又∵PD⊥平面ABCD,
AD⊥CD,∴AD⊥PC.
∴PC⊥平面ADHE,即PC⊥平面ADE.
解法二:建立如圖所示的直角座標系.
∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.
設E是線段PB上的一點,令.
令PD=AD=2,則P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
∴(-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2).
∴. ∴.
令2(-)=0,得.
∴當,即點E是線段PB中點時,有AE⊥PC.又∵PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,∴AD⊥PC.∴當點E是線段PB中點時,有PC⊥平面ADE.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:計算題