已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,*:當-1<x<0時,...
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問題詳情：
已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.
(1)若a=0,*:當-1<x<0時,f(x)<0;當x>0時,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.
【回答】
解(1)當a=0時,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,
f'(x)=ln(1+x)-
,
設函數g(x)=f'(x)=ln(1+x)-
,
則g'(x)=
,
當-1<x<0時,g'(x)<0;當x>0時,g'(x)>0.故當x>-1時,g(x)≥g(0)=0,若且唯若x=0時,g(x)=0,從而f'(x)≥0,若且唯若x=0時,f'(x)=0.
所以f(x)在(-1,+∞)單調遞增.
又f(0)=0,故當-1<x<0時,f(x)<0;當x>0時,f(x)>0.
(2)①若a≥0,由(1)知,當x>0時,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.
②若a<0,設函數h(x)=
=ln(1+x)-
由於當|x|<min
時,2+x+ax2>0,故h(x)與f(x)符號相同.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點若且唯若x=0是h(x)的極大值點.
h'(x)=
若6a+1>0,則當0<x<-
,且|x|<min
時,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的極大值點.
若6a+1<0,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故當x∈(x1,0),且|x|<min
時,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的極大值點.
若6a+1=0,則h'(x)=
當x∈(-1,0)時,h'(x)>0;當x∈(0,1)時,h'(x)<0.
所以x=0是h(x)的極大值點,從而x=0是f(x)的極大值點.
綜上,a=-
知識點：導數及其應用
題型：解答題
