如圖,平面四邊形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2,將△ABD沿BD翻折到與面BCD垂直的位...
問題詳情:
如圖,平面四邊形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2,將△ABD沿BD翻折到與面BCD垂直的位置. (Ⅰ)*:CD⊥面ABC; (Ⅱ)若E為AD中點,求二面角E-BC=A的大小.
【回答】
*:(1)∵平面四邊形ABCD,AB⊥BD,AB=BC=CD=2,BD=2, 面ABD⊥面BCD,AB⊥BD,面ABD∩平面BCD=BD, ∴AB⊥面BCD,∴AB⊥CD, 又AC2=AB2+BC2=8,AD2=AB2+BD2=12,AD2=AC2+CD2=12, ∴AB⊥BC,AB⊥BD,AC⊥CD, ∵AC∩AB=A,∴CD⊥平面ABC. 解:(2)AB⊥面BCD,如圖以B為原點,在平面BCD中,過B作BD的垂線為x軸, 以BD為y軸,以BA為z軸,建立空間直角座標系, 則B(0,0,0),A(0,0,2),C(,0),D(0,2,0), ∵E是AD的中點,∴E(0,,1), ∴=(,0),=(0,,1), 令平面BCE的一個法向量為=(x,y,z), 則,取x=1,得=(1,-1,), ∵CD⊥面ABC,∴平面ABC的一個法向量為=(-,0), ∴cos<,>==, ∴二面角E-BC=A的大小為45°. 【解析】
(1)推導出AB⊥面BCD,從而AB⊥CD,再求出AB⊥BC,AB⊥BD,AC⊥CD,由此能*CD⊥平面ABC. (2)以B為原點,在平面BCD中,過B作BD的垂線為x軸,以BD為y軸,以BA為z軸,建立空間直角座標系,利用向量法能求出二面角E-BC=A的大小. 本題考查線面垂直的*,考查二面角的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關係等基礎知識,考查空間想象能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、數形結合思想,是中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題