正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，則下列結論：①DF=FC...
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問題詳情：
正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，則下列結論：①DF=FC；②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；⑦ BF:EF=
:5．其中結論正確的序號有_____．
【回答】
①②③④⑤⑥⑦
【解析】
設正方形的邊長為3，假設F為DC的中點，*
進而*PE=PB可得假設成立，故可對①進行判斷；由勾股定理求出EF的長即可對② 進行判斷；過B作BG⊥EF，*
即可對③進行判斷；過點E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面積求出EH和BH的長，判斷△BEH是等腰直角三角形即可對④進行判斷；過F作 FQ//AD，利用平行線的*質得
，從而可對⑤進行判斷；根據DE，DF，EF的長可對⑥進行判斷；根據BF和CF的長可對⑦進行判斷．
【詳解】
如圖，不妨設正方形ABCD的邊長為3，即
，
，
，
，
①假設F為CD的中點，延長EF交BC的延長線於點P，
在
和
中
由勾股定理得，
，
，
，
，
，故假設成立，
，故①正確；
②
，
，
，
而
，
，故②正確；
③過B作
，垂足為G，
而
在
和
中，
∴
，
即
，故③正確；
④過E和
，垂足為H，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
而
是等腰直角三角形，
，
，故④正確；
⑤過F作FQ// AD，交AB於Q，則FQ// BC，
，
，
，
，故⑤正確；
⑥
，
，
，故⑥正確；
⑦
，
，
，故⑦正確；
綜上所述，正確的結論是①②③④⑤⑥⑦．
故*為：①②③④⑤⑥⑦．
【點睛】
本題考查了正方形的*質、等腰直角三角形的判定與*質、全等三角形的判定與*質、勾股定理等知識，假設出AB=3是解答此題的關鍵．
知識點：勾股定理
題型：填空題
