閲讀題.材料一:若一個整數m能表示成a2-b2(a,b為整數)的形式,則稱這個數為“完美數”.例如,3=22-...
問題詳情:
閲讀題.
材料一:若一個整數m能表示成a2-b2(a,b為整數)的形式,則稱這個數為“完美數”.例如,3=22-12,9=32-02,12=42-22,則3,9,12都是“完美數”;再如,M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整數),所以M也是”完美數”.
材料二:任何一個正整數n都可以進行這樣的分解:n=p×q(p、q是正整數,且p≤q).如果p×q在n的所有這種分解中兩因數之差的絕對值最小,我們就稱p×q是n的最佳分解,並且規定F(n)=.例如18=1×18=2×9=3×6,這三種分解中3和6的差的絕對值最小,所以就有F(18)=.請解答下列問題:
(1)8______(填寫“是”或“不是”)一個完美數,F(8)= ______.
(2)如果m和n都是”完美數”,試説明mn也是完美數”.
(3)若一個兩位數n的十位數和個位數分別為x,y(1≤x≤9),n為“完美數”且x+y能夠被8整除,求F(n)的最大值.
【回答】
(1)是,;(2)説明見解析; (3).
【解析】
(1)利用“完美數”的定義可得;
(2)根據完全平方公式,可*mn是“完美數”;
(3)兩個一位數相加能被8整除,説明x+y=8或16, 這樣可得正整數n為79,97,88,71,17,26,62,35,53,44共10種, 根據n為“完美數”可把n=26和n=62捨去,再根據n的最佳分解確定出F(n)的最大值.
【詳解】
(1) )∵8=32-12
∴8是完美數,
F(8)==
故*為:是, .
(2)設m=, n=,其中a,b,c,d均為整數,
則mn= ()()
=
=
∵a,b,c,d均為整數
∴ac+bd與ad+bc也是整數,即mn是“完美數”.
(3) ∵兩個一位數相加能被8整除,
∴ x+y=8或16,
∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44,
∵n為“完美數”,
∴n=79或97或88或71或17或35或53或44,
其中F(79)=,F(97)= ,F(88)=, F(71)=, F(17)=, F(35)=, F(53)=, F(44)=,
∴F(n)的最大值為.
【點睛】
本題考查了因式分解的應用,完全平方公式的運用,閲讀理解題目表述的意思是本題的關鍵
知識點:乘法公式
題型:解答題