如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E...

問題詳情：

如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分別為PC、BD的中點．

（Ⅰ） 求*：EF∥平面PAD；

（Ⅱ） 求*：面PAB⊥平面PDC；

（Ⅲ） 在線段AB上是否存在點G，使得二面角C﹣PD﹣G的餘弦值為？説明理由．

【回答】

【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【專題】空間位置關係與距離；空間角．

【分析】（I）*：連接AC，則F是AC的中點，E為PC 的中點，*EF∥PA，留言在線與平面平行的判定定理*EF∥平面PAD；

（II）先*CD⊥PA，然後*PA⊥PD．利用直線與平面垂直的判定定理*PA⊥平面PCD，最後根據面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

（III）假設在線段AB上，存在點G，使得二面角C﹣PD﹣G的餘弦值為，然後以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，設G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空間向量的座標運算求出a值，即可得出結論．

【解答】*：（Ⅰ）連結AC∩BD=F，

ABCD為正方形，F為AC中點，E為PC中點．

∴在△CPA中，EF∥PA…

且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…

（Ⅱ）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD

ABCD為正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD

所以CD⊥平面PAD．

∴CD⊥PA…

又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，

且∠APD=90°　　即PA⊥PD

CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC

∴PA⊥面PDC

又PA⊂面PAB，

∴面PAB⊥面PDC．…..

（Ⅲ） 如圖，取AD的中點O，連結OP，OF．

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

∵側面PAD⊥底面ABCD，

面PAD⊥面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

而O，F分別為AD，BD的中點，∴OF∥AB，

又ABCD是正方形，故OF⊥AD．

∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．

以O為原點，直線OA，OF，OP分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，

則有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．

若在AB上存在點G，使得二面角C﹣PD﹣G的餘弦值為，

連結PG，DG

設G（1，a，0）（0≤a≤2）．

由（Ⅱ）知平面PDC的法向量為=（1，0，﹣1）．

設平面PGD的法向量為=（x，y，z）．

∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），

∴由， =0可得，令x=1，則y=﹣，z=﹣1，

故=（1，﹣，﹣1），

∴cos==，

解得，a=．

所以，在線段AB上存在點G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的餘弦值為．…

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應用及二面角的平面角及求法，考查邏輯推理能力．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題