設F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點．(1)若橢圓C上的點A(1，)到F...
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問題詳情：
設F1、F2分別為橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點．
(1)若橢圓C上的點A(1，
)到F1、F2兩點的距離之和等於4，寫出橢圓C的方程和焦點座標；
(2)設點K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；
(3)若M、N是橢圓C上關於原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，並記為kPM、kPN時．
求*：kPM·kPN是與點P位置無關的定值．
【回答】
解：(1)橢圓C的焦點在x軸上，由橢圓上的點A到F1、F2兩點的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又點A
在橢圓上，
因此
＋
＝1得b2＝3，
於是c2＝1.
所以橢圓C的方程為
＋
＝1，
焦點F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)設橢圓C上的動點為K(x1，y1)，線段F1K的中點Q(x，y)滿足：
x＝
，y＝
，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此
＋
＝1.
即
2＋
＝1為所求的軌跡方程．
(3)設點M(m，n)是橢圓
＋
＝1①
上的任一點，N(－m，－n)是M關於原點的中心對稱點，則
＋
＝1②
又設P(x，y)是橢圓上任一點，且kPM·kPN存在．
則kPM＝
，kPN＝
，
∴kPM·kPN＝
·＝
.
①－②得
＋
＝0，＝－
，
∴kPM·kPN＝－
.
故kPM·kPN與P的取值無關．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：綜合題
