如圖,一顆棋子從三稜柱的一個頂點沿稜移到相鄰的另一個頂點的概率均為,剛開始時,棋子在上底面點A處,若移了n次...
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問題詳情：
如圖,一顆棋子從三稜柱的一個頂點沿稜移到相鄰的另一個頂點的概率均為
,剛開始時,棋子在上底面點A處,若移了n次後,棋子落在上底面頂點的概率記為pn.
(1) 求p1,p2的值;
(2) 求*:
>
.
【回答】
(1) p1=
,p2=
×
+
×
=
.
(2) 因為移了n次後棋子落在上底面頂點的概率為pn,故落在下底面頂點的概率為1-pn.於是移了(n+1)次後棋子落在上底面頂點的概率為
=
pn+
(1-pn)=
pn+
.
從而
-
=
.
所以數列
是等比數列,其首項為
,公比為
.
所以pn-
=
×
,即pn=
+
×
.
用數學歸納法*:
①當n=1時,左式=
=
,右式=
,因為
>
,所以不等式成立.
當n=2時,左式=
+
=
,右式=
,因為
>
,所以不等式成立.
②假設n=k(k≥2)時,不等式成立,即
>
.
則n=k+1時,左式=
+
>
+
=
+
.
要*
+
≥
,只要*
≥
-
,
只要*
≥
,只要*
≤
,
只要*3k+1≥2k2+6k+2.
因為k≥2,
所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+4
)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1>2k2+6k+2,
所以
+
≥
.
即n=k+1時,不等式也成立.
由①②可知,不等式
>
對任意的n∈N*都成立.
知識點：概率
題型：解答題
