已知三稜錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在...

問題詳情：

    已知三稜錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三稜錐中：

    (I)*：平面平面;

    (Ⅱ)求二面角的餘弦值；

    (Ⅲ)若點在稜上，滿足，，點在稜上，且，

求的取值範圍．

【回答】

（Ⅰ）方法1：

設的中點為，連接，. 由題意

        ，，

        因為 在中，，為的中點

所以 ，

因為 在中，，，

所以  

因為 ，平面

所以 平面

因為 平面····················· 4分

所以 平面平面

方法2：

設的中點為，連接，.

因為 在中，，為的中點

所以 ，

因為 ，，

        所以 ≌≌

所以

所以  

因為 ，平面

所以 平面

因為 平面····················· 4分

所以 平面平面

方法3：

設的中點為，連接，因為在中，，

所以  

設的中點， 連接，及.

因為 在中，，為的中點

所以 .

因為 在中，，為的中點

所以 .

因為  ，平面

所以  平面

因為  平面

所以   

因為 ，平面

所以 平面

因為 平面····················· 4分

所以 平面平面

（Ⅱ）由平面，，如圖建立空間直角座標系，則

，，，，

由平面，故平面的法向量為

由，

設平面的法向量為，則

由得：

令，得，，即

由二面角是鋭二面角，

所以二面角的餘弦值為·············· 9分

（Ⅲ）設，，則

令

得

即，μ是關於λ的單調遞增函數，

當時，，

所以························ 14分

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題