在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足ab+a2=c2.(1)求*:C=2A;(2)若△...
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問題詳情:
在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足ab+a2=c2.
(1)求*:C=2A;
(2)若△ABC的面積為a2sin2B,求角C的大小.
【回答】
解(1)在△ABC中,根據餘弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,
又因為ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC.
因為b>0,所以b-a=2acosC.
根據正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.
因為A+B+C=π,即A+C=π-B,
則sinB=sinAcosC+cosAsinC,
所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.
即sinA=sin(C-A).
因為A,C∈(0,π),則C-A∈(-π,π),
所以C-A=A,或C-A=π-A(捨去後者).
所以C=2A.
(2)因為△ABC的面積為a2sin2B,所以a2sin2B=acsinB,
因為a>0,sinB>0,所以c=2asinB,
則sinC=2sinAsinB.
因為C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,
所以sinB=cosA.
因為A∈0,,
所以cosA=sin-A,
即sinB=sin-A,
所以B=-A或B=+A.
當B=-A,即A+B=時,C=;
當B=+A時,由π-3A=+A,解得A=,則C=
綜上,C=或C=
知識點:解三角形
題型:解答題