“楊輝三角”是我國數學史上的一個偉大成就,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.如圖所示,第行的數字之和為
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問題詳情:
“楊輝三角”是我國數學史上的一個偉大成就,是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.如圖所示,第行的數字之和為______;去除所有為1的項,依此構成數列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,則此數列的前46項和為______.
【回答】
2037
【分析】
由次二項式係數對應楊輝三角形的第行,從而求係數和即可得第一個空, 若去除所有為1的項,則剩下的每一行的個數為1,2,3,4,…,可以看成構成一個首項為1,公差為1的等差數列,進而找到第46項所在的位置,利用每一行的和為等比數列的基礎上減去等差數列的和,即可得解.
【詳解】
次二項式係數對應楊輝三角形的第行,例如:,係數分別為1,2,1,對應楊輝三角形的第三行:
令,就可以求出該行的係數和,第1行為,第2行為,第3行為,依此類推即每一行數字和為首項為1,公比為2的等比數列,即楊輝三角第行的數字之和為,
楊輝三角的前行的所有項的和為.
若去除所有為1的項,則剩下的每一行的個數為1,2,3,4,…,可以看成構成一個首項為1,公差為1的等差數列,則,且,可得當即第11行,再加上第12行的前1個數(去除兩邊的1),所有項的個數和為46,則楊輝三角形的前11行所有項的和為.
則此數列前46項的和為.
故*為:,2037.
【點睛】
本題屬於二項式和等差等比數列的綜合題,以楊輝三角為背景處理和的問題,屬於難題.
知識點:數列
題型:填空題