現有一質地均勻密度為ρ0的實心圓柱體，底面積為S0、高為h0，將其中間挖去底面積為的小圓柱體，使其成為空心管，...

問題詳情：

現有一質地均勻密度為 ρ0的實心圓柱體，底面積為S0、高為h0，將其中間挖去底面積為的小圓柱體，使其成為空心管，如圖1所示．先用硬塑料片將空心管底端管口密封（硬塑料片的體積和質量均不計），再將其底端向下豎直放在底面積為S的柱形平底容器底部，如圖2所示．然後沿容器內壁緩慢注入密度為ρ的液體，在注入液體的過程中空心管始終保持豎直狀態．

（1）當注入一定量的液體時，空心管對容器底的壓力剛好為零，且空心管尚有部分露在液麪外，求此時容器中液體的深度．

（2）去掉塑料片後，空心管仍豎直立在容器底部，管外液體可以進入管內，繼續向容器中注入該液體．若使空心管對容器底的壓力最小，注入液體的總質量最小是多少？

【回答】

解：（1）空心管對容器底的壓力剛好為零，此時空心管處於漂浮狀態，浮力等於重力，

設注入液體的深度為h1，

浮力F浮=ρgS0h1，

空心管的重力G=mg=ρ0gh0（S0﹣），

即ρgS0h1=ρ0gh0（S0﹣），

解得液體的深度h1=；

（2）若管的密度大於液體的密度，設液體深度為h2，若使空心管對容器底的壓力最小，即浮力最大，此時空心管應恰好完全浸沒，即液體的深度等於管的高度，h2=h0，所以液體的質量m2=ρ（S﹣）h0=ρh0（2S﹣S0）；

若管的密度小於液體的密度，設液體深度為h3，若使空心管對容器底的壓力最小，此時空心管處於漂浮狀態，浮力等於其重力，

浮力F浮=ρgS0h3，

空心管的重力G=mg=ρ0gh0（S0﹣），

即ρgS0h3=ρ0gh0（S0﹣），

解得液體的深度h3=，

液體的質量m3=ρ（S﹣）=ρ0h0（2S﹣S0）．

答：（1）此時容器中液體的深度；

（2）若管的密度大於液體的密度，注入液體的總質量最小是ρh0（2S﹣S0）；

若管的密度小於液體的密度，注入液體的總質量最小是ρ0h0（2S﹣S0）．

知識點：壓強和浮力單元測試

題型：計算題