已知橢圓的左、右焦點為別為F1、F2，且過點和．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，點A為橢圓上一位於x軸上方...
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問題詳情：
已知橢圓
的左、右焦點為別為FF2，且過點
和
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，點A為橢圓上一位於x軸上方的動點，AF2的延長線與橢圓交於點B，AO的延長線與橢圓交於點C，求△ABC面積的最大值，並寫出取到最大值時直線BC的方程．
【回答】
（1）
（2）y=
【分析】
（1）將兩點代入橢圓方程，求出a，b，然後求解橢圓的標準方程．
（2）設AF2的方程為x=ty+1，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及弦長公式，點到直線的距離求解三角形的面積結合基本不等式求解最值，然後求解BC的方程即可．
【詳解】
解：（1）將兩點代入橢圓方程，有
解得
，
所以橢圓的標準方程為
．
（2）因為A在x軸上方，可知AF2斜率不為0，故可以設AF2的方程為x=ty+1，
，
得
，所以
，
設原點到直線AF2的距離為d，則
，
所以S△ABC=2S△OAB
=
=
=
，△ABC面積的最大值為
．
在t=0時取到等號成立，此時AB的方程為：x=1，
可得，A（1，
），B（1，-
），C（-1，
），
此時BC的方程為：y=
，
【點睛】
本題考查直線與橢圓的位置關係的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
