在平面直角座標系中，對於任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點與點的“非常距離”為；若，則點與點的“...

問題詳情：

在平面直角座標系中，對於任意兩點與的“非常距離”，給出如下定義： 若，則點與點的“非常距離”為；若，則點與點的“非常距離”為.

例如：點，點，因為，所以點與點的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點為垂直於軸的直線與垂直於軸的直線的交點）。

（1）已知點，為軸上的一個動點，①若點與點的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點的座標；②直接寫出點與點的“非常距離”的最小值；

（2）已知是直線上的一個動點，①如圖2，點的座標是（0，1），求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點的座標； ②如圖3，是以原點為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點與點的“非常距離”的最小值及相應的點和點的座標。

【回答】

解：（1）①∵B為y軸上的一個動點，

∴設點B的座標為（0，y）．

∵|﹣﹣0|=≠2，

∴|0﹣y|=2，

解得，y=2或y=﹣2；

∴點B的座標是（0，2）或（0，﹣2）；…………………………………2分

②點A與點B的“非常距離”的最小值為…………………………………3分

（2）①如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”解答，此時|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，

∵C是直線y=x+3上的一個動點，點D的座標是（0，1），

∴設點C的座標為（x0，x0+3），

∴﹣x0=x0+2，

此時，x0=﹣，                             …………………………………4分

∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|=，…………………………………5分

此時C（﹣，）；                        …………………………………6分               

②當點E在過原點且與直線y=x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，設E（x，y）（點E位於第二象限）．則

，

解得，，

故E（﹣，）．         …………………………………7分

﹣﹣x0=x0+3﹣，

解得，x0=﹣，           …………………………………8分

則點C的座標為（﹣，），…………………………………9分

最小值為1．                …………………………………10分

知識點：一次函數

題型：解答題