.已知函數f(x)=2lnx-ax2,若α,β都屬於區間[1,4],且β-α=1,f(α)=f(β),則實數a...
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問題詳情:
.已知函數f(x)=2lnx-ax2,若α,β都屬於區間[1,4],且β-α=1,f(α)=f(β),則實數a的取值範圍是________.
【回答】
【解析】
【分析】
先求導,,利用函數的單調*,結合f(α)=f(β),確定a>0;再利用β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+a(α+β)=0,可得2lnα﹣2ln(α+1)+a(2α+1)=0,α∈[1,3],設h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+a(2x+1),x∈[1,3],確定h(x)在[1,3]上遞增,h(x)在[1,3]有零點,即可求實數a的取值範圍.
【詳解】解:f′(x)= (x>0)
當a≤0 時,f′(x)>0恆成立,則f(x)在(0,+∞)上遞增,則f(x)不可能有兩個相等的函數值.故a>0;
由題設f(α)=f(β) 則 =
考慮到β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+a(α+β)=0
∴2lnα﹣2ln(α+1)+α(2 +1)=0, ∈[1,3]
設h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+α(2x+1)x∈[1,3],a>0,
則h'(x)= 在 上恆成立,
∴h(x)在[1,3]上遞增,h(x)在[1,3]有零點,則
,∴ ,∴
故實數a的取值範圍是.
【點睛】本題考查導數知識的綜合運用,考查函數的單調*與最值.
知識點:基本初等函數I
題型:填空題